적분 한계 찾기 : $ \ lim_ {n \ ~ \ infty} \ int_a ^ bf (x) \ sin ^ 3 {(nx)} \ : dx $

Parisina 07/31/2017. 3 answers, 492 views
integration analysis limits continuity uniform-convergence

$ f : [a, b] \ ~ \ mathbb {R} $가 연속적이라고 가정하십시오. 다음 제한이 있는지 확인하십시오.

$$ \ lim_ {n \ ~ \ infty} \ int_a ^ bf (x) \ sin ^ 3 {(nx)} \ : dx. $$

$ f (x) $와 $ \ sin ^ 3 {(nx)} $는 연속적이므로, 그들의 제품은 리만 적분 가능합니다. 그러나 $ \ lim_ {n \ ~ \ infty} f (x) \ sin ^ 3 {(nx)} $는 존재하지 않으므로 균일하게 수렴하지 못하고 한계를 내부에 전달할 수 없습니다. 또한 Dini 정리의 조건에서도 만족하지 않습니다. 나는이 문제에 대해 유효한 논쟁을하는 법을 모르지만 나는 한계가 존재하지 않는다고 말한 것으로 생각한다. 어떤 도움을 주셔서 감사합니다.

3 Answers


Robert Israel 07/31/2017.

리만 - 르베그그 보조 정리 . $ \ sin ^ 3 (nx) = \ frac {3} {4} \ sin (nx) - \ frac {1} {4} \ sin (3nx) $에주의하십시오.

2 comments
Parisina 07/31/2017
고마워, 내 생각에, 지금은 끝낼 수있어.
Teepeemm 07/31/2017
그것은 문제가 요구하는 것보다 더 진보 된 것처럼 보인다.

Sangchul Lee 07/31/2017.

이것을 해결하는 약간 다른 방법은 다음과 같은 관찰을 사용하는 것입니다.

Proposition. $ f : [a, b] \ to \ mathbb {R} $가 연속적이라면 $ g : \ mathbb {R} \와 \ mathbb {R} $는 연속적이고 $ L $ -periodic이고,

dx = \ left {\ int_ {a} ^ {b} f (x) \, \ {\} \ {\} \ int { dx \ right) \ left (\ frac {1} {L} \ int_ {0} ^ {L} g (x) \, dx \ right). $$

  1. 이 문장을 가정하면, $ x \ mapsto \ sin ^ 3 x $는 $ 2 \ pi $ -periodic이고,

    $$ \ int_ {0} ^ {2 \ pi} \ sin ^ 3 x \, dx = 0 $$$

  2. 직관은 매우 명확합니다. $ n $이 매우 큰 경우, 하위 간격 $ [c, \ frac {L} {n}] \ subset [a, b] $에 있습니다.

    {c} \ {c} \ {c} \ {c} \ {c} \ {c} \ {c} \ { n}} g (nx) \, dx = f (c) \ cdot \ frac {1} {n} \ int_ {0} ^ {L} g (x) \, dx. $$

    세부 사항을 무시하면

    (왼쪽) (왼쪽) (왼쪽) (왼쪽) (바) / 왼쪽 / 오른쪽 / 왼쪽 / 왼쪽 / 왼쪽 / (왼쪽) \ left (\ int {0} ^ {L} g (x) \, dx \ right) $$ (왼쪽 + 오른쪽) \ frac {

    $ n \ ~ \ infty $로 제한하면 오른쪽이 원하는 값으로 수렴됩니다. 세부 사항을 채우는 것은 아주 일상적입니다.

  3. 연속성에 대한 가정은 단순한 증명을위한 기술적 인 설정 일 뿐이며, 더 많은 노력을 기울임으로써 특정 정도까지 풀 수 있습니다.


Michael Hartley 07/31/2017.

당신은 $$ \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ int_a ^ bg (x, n)을 결론 지을 수 없습니다. 왜냐하면 $$ \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} g (x, n) ) $$하지 않습니다. 예를 들어 $$ \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ sin (nx) $$은 존재하지 않지만 $$ \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ int_0 ^ \ pi \ sin (nx) dx = 0, $$. 모든 $ n $에 대한 적분 값은 0이므로.

나는 한계가 존재한다고 생각하지만,이 시점에서 나의 유용성이 다가올 것 같아 걱정이다 : 다른 것은 없다면, 엡실론 - 델타 인수를 찾을 수 있어야한다. 정수의 길이를 정수의 합으로 표현한다. $ \ frac {2 \ pi} {n} $. 이것은 문제를 해결하는 아주 나쁜 방법 일 수 있습니다.


HighResolutionMusic.com - Download Hi-Res Songs

1 (G)I-DLE

POP/STARS flac

(G)I-DLE. 2018. Writer: Riot Music Team;Harloe.
2 Ariana Grande

​Thank U, Next flac

Ariana Grande. 2018. Writer: Crazy Mike;Scootie;Victoria Monét;Tayla Parx;TBHits;Ariana Grande.
3 Imagine Dragons

Bad Liar flac

Imagine Dragons. 2018. Writer: Jorgen Odegard;Daniel Platzman;Ben McKee;Wayne Sermon;Aja Volkman;Dan Reynolds.
4 Clean Bandit

Baby flac

Clean Bandit. 2018. Writer: Jack Patterson;Kamille;Jason Evigan;Matthew Knott;Marina;Luis Fonsi.
5 Backstreet Boys

Chances flac

Backstreet Boys. 2018.
6 BTS

Waste It On Me flac

BTS. 2018. Writer: Steve Aoki;Jeff Halavacs;Ryan Ogren;Michael Gazzo;Nate Cyphert;Sean Foreman;RM.
7 Fitz And The Tantrums

HandClap flac

Fitz And The Tantrums. 2017. Writer: Fitz And The Tantrums;Eric Frederic;Sam Hollander.
8 BlackPink

Kiss And Make Up flac

BlackPink. 2018. Writer: Soke;Kny Factory;Billboard;Chelcee Grimes;Teddy Park;Marc Vincent;Dua Lipa.
9 Lady Gaga

I'll Never Love Again flac

Lady Gaga. 2018. Writer: Benjamin Rice;Lady Gaga.
10 Diplo

Close To Me flac

Diplo. 2018. Writer: Ellie Goulding;Savan Kotecha;Peter Svensson;Ilya;Swae Lee;Diplo.
11 Halsey

Without Me flac

Halsey. 2018. Writer: Halsey;Delacey;Louis Bell;Amy Allen;Justin Timberlake;Timbaland;Scott Storch.
12 Imagine Dragons

Machine flac

Imagine Dragons. 2018. Writer: Wayne Sermon;Daniel Platzman;Dan Reynolds;Ben McKee;Alex Da Kid.
13 Little Mix

The Cure flac

Little Mix. 2018. Writer: Pete Kelleher;Camille Purcell;Tom Barnes;Ben Kohn.
14 Bradley Cooper

Always Remember Us This Way flac

Bradley Cooper. 2018. Writer: Lady Gaga;Dave Cobb.
15 Calum Scott

No Matter What flac

Calum Scott. 2018. Writer: Toby Gad;Calum Scott.
16 Frida Sundemo

Apologize flac

Frida Sundemo. 2018.
17 Little Mix

Woman Like Me flac

Little Mix. 2018. Writer: Nicki Minaj;Steve Mac;Ed Sheeran;Jess Glynne.
18 Kelly Clarkson

Never Enough flac

Kelly Clarkson. 2018. Writer: Benj Pasek;Justin Paul.
19 Ashley Tisdale

Voices In My Head flac

Ashley Tisdale. 2018. Writer: John Feldmann;Ashley Tisdale.
20 Haley Reinhart

Something Strange flac

Haley Reinhart. 2018.

Related questions

Hot questions

Language

Popular Tags