대부분의 수학자들은 수학에서 대부분의 주제를 알고 있습니까?

Sid Caroline 08/21/2017. 8 answers, 12.112 views
soft-question

그의 전문 분야 외의 많은 주제가 익숙한 평균 수학자입니까?

예를 들어, 평균 그룹 이론가는 대학원 수준의 PDE 과정에서 시험에 합격하기 위해 편미분 방정식을 충분히 알고 있습니까?

또한, 주목받는 수학자를위한 "반드시 알아야 할"주제는 무엇입니까? 왜?

대학원생으로서 폭 넓은면에 초점을 두어야합니까 (예 : 그룹 이론과 PDE와 같은 상대적으로 쌍방이 아닌 다양한 종류의 수업 선택) 또는 깊이 (예 : 이론 및 기능 분석 측정)?

5 Comments
5 Mattos 07/27/2017
그룹 이론 is 편미분 방정식의 연구에 사용됩니다. 주로 PDE가 가질 수있는 대칭을 이용합니다.
53 Cauchy 07/27/2017
아니오, 평균 그룹 이론가는 졸업 레벨 PDE 코스에서 지방 $ 0 $을 얻을 것입니다. (어느 시점에서 PDE를 공부 might 있지만, 모든 것을 잊어 버렸을 것입니다).
23 Cauchy 07/27/2017
그러나 일반적으로 대부분의 수학자는 다양한 주제에 대해 약간의 노출을 가지고 있으므로 다른 지사에서 특정 도구가 필요한 경우 신속하게 자료를 브러시 업하고 관련 문헌을 읽을 수 있습니다.
1 owjburnham 07/27/2017
나는 이것이 특정 국가 일 수 있고, 태깅 할 가치가 있다고 의심한다. 저는 (영국에서) 대학원생으로서 단 한번의 시험을 치러야 만했습니다 (선량에게 감사하십시오).
6 Robin Saunders 07/29/2017
@Myles, Poincaré에 대해 자주 들었습니다.

8 Answers


P. Siehr 07/27/2017.

귀하의 질문은 수학보다는 철학적입니다.

내 동료는 내가 학사 학생이었을 때 그의 박사 학위를 받았을 때 다음과 같은 은유 / 일러스트레이션을 들었다. 그리고 몇 년이 지난 지금부터 나는 관련 될 수있다.

그것을 쓰는 것은 어렵다. 공중에서 거대한 원을 그려 줌과 확대 한 다음 거대한 원을 다시 그리는 것에 대해 생각해보십시오.

이것은 모두 지식입니다.

[--------------------------------------------] 

모든 지식에는 많은 것이 포함되어 있으며 수학은 십자가로 표시된 작은 부분 일뿐입니다.

[---------------------------------------x----]
                                        |
Zooming in:
[xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx] 

수학 연구는 많은 주제로 나뉩니다. 대수학, 수론 및 많은 다른 수학뿐만 아니라 수치 수학. 이것이 바로이 작은 부분입니다.

[xxxxxxxxxxxxxxxxxxxoxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx]
                    |                    
Zooming in:
[oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo] 

Numerical Math는 ODE 수치, 최적화 등 여러 주제로 나눠져 있습니다. 그 중 하나는 PDE에 대한 FEM 이론입니다.

[oooooooooooooooooooρoooooooooooooooooooooooo]
                    | 

그리고 그것은 지식의 일부입니다. 나는 편안함을 느낍니다. "나는 세상의 다른 대부분의 사람들보다 조금 더 잘 알고 있습니다."
이제 몇 년 후에, 나는 그 그림을 한 단계 더 확장 할 것이다.

[   ρ    ρρ  ρ         ρ   ρ          ρ     ρ] 

나는 아직도 그것에 대해서 "조금"만 알고있다. 나는 그것의 대부분을 모른다. 그리고 내가 배웠던 대부분은 이미 잊혀져있다.

(실제로 FEM 이론은 다른 종류의 PDE [타원형, 포물선 형, 쌍곡선 형, 기타]을 포함하고있는 거대한 주제이므로 여러 번 "확대 / 축소"를 할 수 있습니다.)


또 다른 작은 지혜는 : 학교를 마친 누군가는 그가 모든 것을 알고 있다고 생각합니다. 일단 학위를 받으면 그는 아무것도 모르는 것을 압니다. 그리고 PhD 후에 그는 그 주위의 모든 사람들도 아무것도 모르는 것을 압니다.


관심 집중하기 : IMO는 처음 몇 년 동안 수학에서 주제를 탐구하여 자신이 좋아하는 것을 찾아냅니다. 그런 다음 더 깊이 들어가십시오 - 당신이 좋아하는 것을 찾으면.

"알아야 할"주제가 있습니까? 처음 몇 가지 용어로 배울 수있는 기본 사항이 있습니다. 그것들이 없으면 수학을 "말하고"하는 것이 어렵습니다. 더 깊이 파고 드는 데 필요한 도구를 배우게됩니다. 그 후 수학을 즐길 자유롭게 :)
연구 초점이 예를 들어 PDE 수치 (예 : 광산 인 경우)이지만 순수 수학을 좋아하는 경우 - 계속 진행하여 강의를 듣습니다. 도움이 될까요? 그럴 수도 있고 아닐 수도 있고. 그러나 확실히 당신은 지식을 얻는 재미를 보았습니다. 그것이 바로 중요한 것입니다.

참석할 강연에 대해 너무 많이 생각하지 마십시오. 모든 것이 잘 될거야. 나는 대부분의 수학자들이 그 성명서에 동의 할 것이라고 생각한다.

4 comments
46 Eff 07/27/2017
10 Mars 07/30/2017
기록을 위해 나는 전문직 철학자이다. (철학 박사, 교수로서의 직업, 모든 것). Soo ... 나의 전문적 의견으로는,이 질문은 철학적이지 않다. 경험적입니다. OP는 수학자에 대한 경험적 일반화를 요구합니다. P. Siehr의 제안은 질문이 부정확하게 진술되었거나 틀린 가정에 근거한 것입니다. 그렇다고해도 철저한 질문이나 대답은 아닙니다. (필자는 P. Siehr의 말에 답할 수없는 질문에 동의하지 않으며 내 발언은 그 의견에 대한지지를 의미하지 않는다.)
3 Joonas Ilmavirta 08/01/2017
@Mars 수학적 맥락에서 "철학적"은 일반적으로 철학 분야를 지칭하는 것이 아니라 엄격하고 공식적인 수학 밖의 수학적으로 관련되거나 영감을받은 거의 모든 생각을 가리킨다는 점에 유의해야한다. (나는이 단어를 사용하는 수학자들이 이것을 인정하기를 희망한다!) 나는이 질문이 실제 의미에서 철학적 인 것은 아니라고 동의하지만 많은 수학자들이 철학적으로 생각한 것처럼 생각한다.
Mars 08/09/2017
아, 그건 흥미 롭다 .JoonasIlmavirta. 감사.

Georges Elencwajg 07/27/2017.

귀하의 질문에 대한 답변은 쉽습니다.
아니요, 대수 기하학을 전문으로하는 평균적인 수학자는 편미분 방정식에 대한 대학원 수준의 시험 without preparation 통과 할 수 없습니다.
잠깐, 그보다 더 나쁩니다 : 그는 편미분 방정식에 대한 학부 수준의 시험에 합격하지 못했습니다.
잠깐, 그것은 더 나빠요 : 그는 자신과 다른 전문 주제에 대한 in algebraic geometry 에서 시험 in algebraic geometry 통과 할 수 없었습니다. 예를 들어 Hilbert 체계에 특화되어 있다면 특이성의 분류에 대한 초등 시험입니다.
반대로 최근에 Fields 메달을 얻은 악명 높은 분석가가 말하자면 풀턴 대수 곡선 의 제 5 장, 학부 대수 기하학에 대한 표준 소개를 해결할 수 있다면 매우 놀랄 것입니다.

Some remarks
1) 내가 쓴 것은 사적으로 확인하기는 쉽지만 공개적으로 증명하는 것은 불가능하다.
존경받는 확률 론자 인 최근의 대화 XXX에서 그가 원의 기본 그룹이 무엇인지 전혀 알지 못한다는 것을 충분히 증명할 수는 없습니다.

2) 저자 YYY가 편향 가능한 방정식의 기술을 사용하여 편미분 방정식에 대한 기사를 작성했다면, 이는 그의 분야의 다른 전문가들이 그룹 이론을 알고 있음을 의미하지는 않습니다.
YYY가 그룹 이론에 대해 많이 알고 있다는 것을 증명하지도 못했습니다. 그는 그룹 이론이 그의 연구에 관여했고, 그를 따르는 그룹 이론가와 인터뷰했습니다.

3) 밝은면에서 몇몇 매우 예외적 인 수학자들은 Atiyah, Deligne, Serre, Tao가 마음에 떠오르는 수학의 거의 모든 주제에 대해 많은 것을 알고있는 것으로 보인다.
슬픈 추측은 시간이 지남에 따라 숫자가 제로가되는 함수라는 것입니다.
그리고 분석 시험을 할 수는 없지만 $ \ mathbb N $으로 평가 된 함수가 무엇을 의미하는지 알고 있습니다 ...

5 comments
11 Alfred Yerger 07/27/2017
우리 부서에는 적어도 광범위한 분야의 다양한 하위 필드에 대해 의견을 말할 수있는 사람들이 있습니다. 많은 기하학 분야에 관해 지적인 지적이있는 기하학자가 있습니다. 어쩌면 모든 것을 아는 것이 불가능할 수도 있습니다. 그러나 많은 것들에 대해 많은 것을 알게되기를 바랍니다. 나는 아마 그걸로 충분하다고 생각합니다, 지금부터는 훨씬 더 많은 것을 알게됩니다!
1 Santropedro 07/28/2017
Georges, "반대로, 최근에 Fields 메달을 얻은 악명 높은 분석가가 말하자면, 풀턴 대수 곡선의 5 장, 즉 학부 대수 기하학에 대한 표준 소개를 해결할 수 있다면 매우 놀랄 것입니다." 각 운동을 생각할 때 얼마나 걸릴 수 있습니까? 우리가 책을 읽고 연습 할 수있는 충분한 시간을 주면 나에게도 충분히 풀어 줄 것입니다. 그들은 책을 읽을 수 없으며, 얼마 동안 그 책을 그 자리에서 풀어야합니까?
8 Georges Elencwajg 07/28/2017
친애하는 @Santropedro, 물론 그 화려한 분석가 한두 주면 그는 책을 읽고 그 운동을 해결할 수 있었다. 내가 원했던 점은 그가 지금 알고있는 것만으로는 해결할 수 없다는 것입니다.
2 Michael Kay 07/28/2017
몇 년 전 나는 내 딸이 집에 가져온 GCSE 수학 종이 (16 세의 아이들을위한)를 다루는 것을 즐겁게 생각했다. 그 나이에 나는 어려움없이 그것을 항해했을 것이다. 소프트웨어 엔지니어링에 대한 저의 연구가 상당히 많은 수학에 대한 정기적 인 노출을 포함하고 있음에도 불구하고, 저는 한 가지 질문에 답을 찾을 수 없었습니다.
2 Georges Elencwajg 07/30/2017
@Mars : 그렇습니다. 바로 그 점입니다. OP는 수학자 was 익숙한 과목에 대해 질문했습니다. 그가 그와 같은 주제에 얼마나 익숙해 질 could 있는지, 그것이 얼마나 오래 걸릴지에 대한 질문은 완전히 달랐으며, "훌륭함"이라는 개념과 상당히 관련이있다.

MCS 07/29/2017.

제 2 센트 : 마법의 두뇌가 없거나 획기적인 천재성이 아니라면, 주어진 시간에 마음 속에 단지 많은 수학 만 가질 수 있다는 것을 알게 될 것입니다. 그러므로 실용적인 이유 - 논문 작성에 관한 것 - 자기 자신을위한 커리어 만들기와 관련하여 - 밀접하게 관련이있는 하나 또는 두 개의 분야에 집중해야 할 것입니다. 그래서 당신이 자신을 유용하게 만들 수있는 충분한 전문성을 가질 수 있습니다. 연구 기관 또는 미래에 무엇을하고 싶은지에 관계없이

즉, 나는 팔꿈치 기름과 수학 기술이 종종 uncorrelated 비참한 uncorrelated 가 있다는 것을 발견했습니다. 오히려 기술은 종종 수학이 얼마나 많은지에 달려 seen . 이를 위해서는 분명히 주제 분야 또는 두 가지를 선택하여 자신의 과제를 다뤄야한다고 생각하지만 가능한 한 열린 마음을 갖고 다양한 수학 분야에 적극적으로 관심을 가져야합니다.

저는 종종 연구 분야와 관련이없는 수학의 형태에 관한 독서 (심지어 부담없이)가 새로운 아이디어와 통찰력을 제공한다는 것을 알게되었습니다. 당신이 알고있는 패턴과 현상이 많을수록, 당신의 관심사가 당신의 작업에 침투한다는 것을 알게되고, 그렇게하지 않으면 직감을 줄 수도 있습니다. 최소한, 전문 분야가 아닌 분야를 우연히 발견 할 때 어떤 주제 나 출처 (또는 공동 작업자)를 찾도록 도와 줄 수 있습니다.

편집 : 한 가지 더. Linear algebra. 베네딕트 그로스 (Benedict Gross)를 바꾸어 말하면 너무 많은 선형 대수학을 아는 것과 같은 것은 없습니다. 그것은 everywhere 미치고 everywhere .


paul garrett 07/27/2017.

물론 질문에는 엄청난 모호함이 있습니다. 그러나 어떤 해석으로도 대답은 일반적으로 "아니요, X의 일부 실무자 대부분은 X의 모든 것을 기억하지 못합니다. 왜냐하면 그들은 필요하지 않기 때문입니다."

따라서 대부분의 똑똑한 사람들의 기억이 시간이 지남에 따라 사라지기 때문에, 몇 년 동안 특정한 종류의 일을하고있는 수학자들의 마음 속에는 표준의 약간의 잔류 물이있을뿐입니다. 미적분을 가르치는 것과는 별개로, 많은 것을 기억할 need 가 거의 없습니다. 그렇습니다, 장학금의 관점에서 보았을 때, 이것은 잠재적으로 괴로울 수 있습니다. 그러나 사실 거의 모든 전문 수학 상황에서 진정한 장학금에 대한 동기는 거의 없습니다. 그것은 어떻게 든 급여 인상 공식, 재임 기간 또는 다른 많은 것들에 적합하지 않습니다. (내가 "유료로"또는 ...하지 않는 것을 이해하려고 노력하는지 아닌지는 ...)

사실 수학에서 미국의 대부분의 대학원 프로그램은 기본적인 수학의 큰 부분에 대한 최소한의 역량 / 감사를 얻으려고 시도하지만 "통과 한정어"이후에는 대다수의 사람들이 더 광범위한 추구에 많은 관심을 보이지 않는 것처럼 보입니다. 장학금을 원칙적으로 또는 가능한 직접 혜택을 위해서.

또한, "전문화"는 "현미경으로 확대"하는 것과 같은 단순한 그림과 관련하여 문제를 제기합니다. 물론, 이것은 방어 할 수있는 세계관이고, 주체 - 현명한 세계관이며, 물론, 하나의 행동으로 accurate 설명이 될 수 있습니다 ... 그러나 나는 그것이 현실에 정확하지 않다고 생각합니다. 특히, "실제 줌 현미경"이 관련성이있는 것처럼 실제 아이디어가 거의 "현지화 된"것으로 보이지는 않습니다. 즉, "수학"이 어떤 합리적인 방법 으로든 물리적 인 것으로 묘사 될 수 있다는 생각은 그것이 의미하는 모든 지역성을 수반한다고 생각합니다. 나는 심각하게 부정확하다고 생각합니다. 다시 말하지만, 무지 또는 무식한 사람이 아닌 다른 사람이 없다면, 정확 make 수 있습니다. 그러나...


Dennis Jaheruddin 07/29/2017.

평균 수학자가 알고있는 수학 주제의 수에 대한 질문은 두 가지 정의에 크게 의존합니다.

  1. 이야기
  2. 알고있다

물론 이것은 다른 정의 (수학자와 같은)에 달려 있지만 그 정도는 적습니다.

이 질문에 대답하기위한 양적 접근법

위키피디아를 기반으로 다음과 같이 주제의 수준을 정의 해 보겠습니다.

  1. 수학 (이 레벨에 1 개의 주제)
  2. 순수 수학 / 응용 수학 (이 레벨에서 2 개의 주제)
  3. 대수학, ..., 운영 연구 (이 레벨에서 13 개의 주제)
  4. 추상 대수, 부울 대수, ... (이 수준의 주제)

이제는 개인적인 경험과 평균 수학자의 이미지를 토대로 수학자가 각 레벨에 대해 얼마나 알고 있는지 대답 할 수 있습니다.

  1. 이 주제에 대한 대학원 과정 수료 가능
  2. 이 주제에 대한 대학원 과정 수료 가능
  3. 이 주제 중 일부에 대한 대학원 과정을 통과 할 수 있으며,이 주제의 대부분에 대한 입문 과정을 통과 할 수 있습니다.
  4. 이 과목 중 일부 (아마도 5 ~ 15 %)에서 대학원 과정을 수강 할 수 있습니다.

레벨 4 이상으로 이동하면 너무 구체적이어서 그러한 주제에 대한 대학원 과목을 찾을 수 없습니다. 그러므로 내 결론 :

개인적인 경험에 비추어 볼 때, 평균 수학자는 대학원 과정에서 주제의 5 %에서 15 % 사이에 상당한 지식을 가지기를 기대합니다.


Linas 07/29/2017.

나는 대학 도서관의 각 선반에 적어도 한 권의 수학 서적의 처음 1-2 장을 읽는 프로젝트에 수년을 보냈다. 그것은 수학에 대한 편파적 인 조사를 얻으려는 시도였습니다. 그것은 나에게 좋았지 만 사치였습니다. PhD 프로그램과 학계에 대한 강제 행진은 그러한 행동을위한 시간을 거의 제공하지 않았습니다. 그러나 그것은 중요합니다 : 모든 최고, 가장 유명한 수학자들은 분명히 자신의 업무에서 교차 징계 도구를 사용하고 있습니다. 그리고 저로서는 개인적으로 일종의 레벨 업이었습니다. 갑자기 모든 것이 더 쉬워졌습니다.

한 분야를 전문적으로 다루는 것은 오른팔로 몸무게를 들어 올리는 것과 같으며, 중추, 등, 다리는 무시합니다. 놀라 울 정도로 약하고 무능력한 상태가됩니다. 여러 가지 다른 스타일의 추상화를 마스터해야하는 경우 일반적으로 선택한 전문 분야 에서조차 더 잘 이해할 수 있습니다. 이것은 나에게 큰 뜻밖의 놀라움이었습니다.

좀 더 정량적 인 질문은 여기에서 : "대학원 수준의 XYZ 과정에서 시험을 통과 할 수 있습니까?" 1 학년, 1 학기 코스 어쩌면 아마도. 일종의. 시험은 교과서와 밀접하게 관련된 표현 및 표기법을 사용하여 질문을 제기하는 경향이 있으며,이 표기법은 교과서마다 크게 다를 수 있습니다. 그래서, prep가 필요할 것입니다. 요점은 그러한 prep가 쉬워진다는 것입니다.

1 comments
Lehs 07/29/2017
대학 도서관에는 많은 수학 서적이 있어야합니다. 나는 모든 책들에 대한 모든 정의를 확실히 배울 수는 없을 것입니다. 그리고 그 많은 맥락을 기억하는 것은 불가능합니다. 그러나 전문 수학자는 책을 읽어야 만 책의 내용을 이해할 수 있습니다.

R K Sinha 08/07/2017.

가능한 한 빨리 "진정한 과목"을 가르치는 목적으로 쓰여진 수학 분야의 대학원 수준의 교과서가 많이 부족합니다. "Sinha의 Smooth Manifolds"는 그러한 책 중 하나입니다. 그런 종류의 책이 많이 있다면, 수학 장학금은 웃지 않을 것입니다.


John Bentin 07/27/2017.

확실히. 예를 들어, 위대한 수학자 Grothendieck은 정수 $ 57 $를 소수가 아닌 소수로 인식하는 데는 산술에 익숙하지 않았습니다. 이 이야기의 많은 계정은 핵심 용어에 대한 인터넷 검색을 통해 액세스 할 수 있습니다. grothendieck prime 57 찾으십시오.

5 comments
24 José Carlos Santos 07/27/2017
이것은 우스운 예입니다! Grothendieck은 일반적으로 소수에 대해 생각하고있었습니다. 그는 $ 57 $가 소수인지 아닌지 간단히 말할 수 없습니다.
19 Georges Elencwajg 07/27/2017
이야기는 구성되지 않았다 : Grothendieck는 청중의 일원에 의해 더 명확하게 요구 된 후에, 이야기 후에 교환에서 어리석은 실수를 만들었다. 물론 이것은 Grothendieck이 20 세기의 가장 심오한 수학자 중 하나 였다는 사실에 아무런 변화가 없습니다. 그리고 실제로 어떤 심리적 인 이유 때문에 57 looks 조금 중요해 looks :-). 반대로 많은 수학자들은 $ 4999 $ is 소수라고 말할 때 다리를 당기고 있다고 생각합니다!
1 Dair 07/27/2017
나는 테 런스 타오 (Terrance Tao)도 콜버트 (Colbert) 보고서에 27 점을 올린다고 말했다고 생각한다 : p (그는 소수에 친숙하지 않고 즐거운 일화는 아니다) 그러나 더 좋은 질문은 어떻게 알 수 있는가? 그리고, 내 인생에서 무엇을하고 있니?
1 quid 07/27/2017
'그러나 Grothendieck은 57이 소수가 아니라는 것을 알고 있었음에 틀림 없습니다. Brown University의 David Mumford는 당연하지 않습니다. "그는 구체적으로 생각하지 않는다."왜냐하면 그는 "57이 소수입니까?"라는 질문에 대답 할 수 있다는 점에서 확실히 그것을 알고 있었기 때문입니다. 올바르게, 그리고 거기에 흐리게 도착.
1 John R Ramsden 08/02/2017
가장 큰 수학자의 지식조차도 피할 수없는 격차를 지적하는 다소 맛이없는 접근법에 의해 원래의 질문에 답하는 경우, 어리석은 산술 전표보다 더 나은 예가 Grothendieck이 동료에게 그가 직면 한 일정한 적분에 대해 물었을 때였을 것입니다. 일반적으로 정규 분포라고 불리는 것에 놀라움을 금치 못했습니다.

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